Базис — это минимальный набор элементов векторного пространства или модуля, посредством которого любое его значение может быть единственным образом выражено в виде линейной комбинации элементов этого набора.
линейная зависимость, избыток элементов, надмножество
Синонимы:
основа, опорная система, фундамент
| № | Параметр | Описание |
|---|---|---|
| 1 | Линейная независимость | Ни один элемент не выражается через другие. |
| 2 | Порождение пространства | Любой вектор представим как комбинация базисных. |
| 3 | Уникальность разложения | Коэффициенты при представлении однозначны. |
| 4 | Размерность | Число элементов в базисе = размерность пространства. |
| 5 | Число элементов | Может быть конечным или бесконечным (Hamel). |
| 6 | Ортонормированность | Дополнительное свойство в евклидовом пространстве. |
| 7 | Применение | Используется в аналитической геометрии и функциональном анализе. |
- Типы базисов:
- Hamel‑базис (в произвольном векторном пространстве)
- Ортонормированный базис (в евклидовом пространстве)
- Сенди-базис (в специальных модулях)
- Основные приложения:
- Решение систем линейных уравнений
- Разложение функций в ряды
- Методы численного анализа
Исторически понятие «базис» восходит к работам Г. Г. Грассмана в середине XIX века, где он впервые формализовал идею независимых векторов, порождающих пространство. В XX веке (1921) Георг Хамель развил теорию базисов в функциональных пространствах, введя понятие Hamel‑базиса.
Hermann Günther Grassmann — ввёл формальное определение линейной независимости и операций над векторами, заложив основы теории базиса.
Georg Hamel — обобщил концепцию базиса на бесконечномерные пространства, предложив понятие Hamel‑базиса.
FAQ по смежным темам
В: Что такое размерность пространства?
О: Размерностью называют число элементов любого базиса конечномерного пространства. В бесконечномерном случае говорят об кардинале базиса.
В: Как связаны матрицы перехода и базисы?
О: Матрица перехода показывает, как координаты вектора меняются при переходе из одного базиса в другой, используя линейные комбинации элементов обоих базисов.
В: Чем ортонормированный базис отличается от произвольного?
О: В ортонормированном базисе векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, что упрощает вычисления скалярных произведений и координат.
В: Где применяется Hamel‑базис?
О: В функциональном анализе при исследовании топологических векторных пространств, а также для доказательства теорем о представлении линейных функционалов.
В: Почему важно требование линейной независимости?
О: Только при его выполнении представление вектора будет уникальным, что критично для корректности вычислений и теоретических выкладок.