Тангенс — тригонометрическая функция, обозначаемая как tan x, определяемая для всех действительных x, кроме значений вида π/2 + kπ (k ∈ ℤ), и равная отношению sin x к cos x: tan x = sin x / cos x. В прямоугольном треугольнике tan α — это отношение противолежащего катета к прилежащему, а в аналитической геометрии тангенс угла наклона прямой k равен tan α, где α — угол между прямой и положительным направлением оси Ox.
Геометрический смысл 📐
Связь с единичной окружностью: луч, исходящий из начала координат под углом α, пересекает вертикальную прямую x = 1 в точке с ординатой tan α. Исторически название связано с касательной прямой к окружности; длина соответствующего отрезка на этой прямой соответствует значению функции.
График tan x состоит из повторяющихся ветвей на интервалах (-π/2 + kπ, π/2 + kπ). Функция не имеет максимумов и минимумов, возрастает на каждом интервале, имеет вертикальные асимптоты x = π/2 + kπ и нули при x = kπ. Она нечётная: tan(-x) = -tan x, что соответствует центральной симметрии графика относительно начала координат.
Функция тангенс периодична с периодом π, не определена при cos x = 0 (x = π/2 + kπ) и имеет производную tan′ x = sec² x = 1/cos² x, что отражает её строго возрастающее поведение на области определения.
Способы задания и вычисления 🧮
- Через синус и косинус: tan x = sin x / cos x; для вычисления используют разложение sin и cos или прямое вычисление tan.
- Через ряд Тейлора (для |x| < π/2): tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + 17x⁷/315 + …
- Через угловой коэффициент: для прямой y = kx + b угол наклона α удовлетворяет k = tan α; отсюда α = arctan k.
- В прямоугольном треугольнике: tan α = противолежащий катет / прилежащий катет.
Справочные данные по тангенсу 📊
| Свойство/формула | Описание | Пример/замечание |
|---|---|---|
| Определение | tan x = sin x / cos x | Не определена при cos x = 0 |
| Область определения | x ≠ π/2 + kπ | Асимптоты в запрещённых точках |
| Область значений | Все действительные числа | Глобальных экстремумов нет |
| Периодичность | tan(x + π) = tan x | Минимальный положительный период π |
| Нечётность | tan(-x) = -tan x | Симметрия относительно начала координат |
| Нули | x = kπ | Пересечения с осью Ox |
| Асимптоты | x = π/2 + kπ | Вертикальные асимптоты |
| Производная | (tan x)′ = sec² x = 1/cos² x | Положительна на области определения |
| Интеграл | ∫ tan x dx = -ln|cos x| + C | Следует из подстановки u = cos x |
| Сложение углов | tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b) | Аналогично для a − b |
| Двойной угол | tan 2x = 2 tan x / (1 − tan² x) | При tan² x = 1 знаменатель 0 |
| Полусуммы | tan((a + b)/2) = sin a + sin b / (cos a + cos b) | Верно при cos a + cos b ≠ 0 |
| Связь с котангенсом | cot x = 1/tan x | Области определения различны |
| Обратная функция | arctan y ∈ (-π/2, π/2) | (arctan y)′ = 1/(1 + y²) |
| Ряд Тейлора | tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + … | Сходимость на (-π/2, π/2) |
| Специальные значения | tan 0 = 0; tan(π/4) = 1; tan(π/6) = √3/3 | tan(π/3) = √3; tan(π/2) не существует |
Формулы и преобразования ⚙️
- Тождество через синус/косинус: tan x = sin x / cos x; 1 + tan² x = 1/cos² x = sec² x.
- Сумма и разность: tan(a ± b) = (tan a ± tan b)/(1 ∓ tan a tan b); применимо, если знаменатель ≠ 0.
- Композиции: tan(arctan y) = y для всех y ∈ ℝ; arctan(tan x) = x только при x ∈ (-π/2, π/2).
- Периодические сдвиги: tan(x + kπ) = tan x; для фазовых сдвигов удобно нормализовать аргумент к интервалу (-π/2, π/2).
Применения и практические замечания 🚀
- Геодезия и навигация: угол места и азимуты удобно выражать через tan и arctan; для крутых углов используют преобразования, чтобы избегать переполнения.
- Компьютерная графика и физика: углы наклона, расчёт преломления, траекторий и нормалей часто сводятся к k = tan α и α = arctan k.
- Регрессия и статистика: преобразования через arctan применяют для стабилизации дисперсии и линеаризации моделей.
- Численные расчёты: возле x ≈ π/2 + kπ tan x быстро растёт по модулю; используют редукцию аргумента и устойчивые формулы (например, tan x = sin x / cos x с точной редукцией по π).
Обратная функция arctan и ветвления 🔁
arctan: ℝ → (-π/2, π/2) — непрерывная и гладкая функция, монотонно возрастающая. Она задаёт главный угол, тангенс которого равен заданному числу. Для восстановления общего угла используют периодичность: все решения уравнения tan x = y имеют вид x = arctan y + kπ. В вычислительной практике для определения четверти по координатам (y, x) применяют двухаргументную функцию atan2(y, x), учитывающую знаки и исключительные случаи.
Значения tan в точках, близких к нулям, могут быть аппроксимированы как tan x ≈ x (при небольших |x|), что полезно для прикидок и вывода линейных моделей, однако при |x| → π/2 точность такой аппроксимации резко ухудшается из-за вертикальных асимптотов.