синус

Синус — тригонометрическая функция, задающая проекцию единичного вектора на ось y: численно равна ординате точки пересечения единичной окружности и луча, образующего угол x с положительным направлением оси x. В прямоугольном треугольнике синус острого угла — отношение длины противолежащего катета к гипотенузе.

📐 Эквивалентные определения

1. Через прямоугольный треугольник: sin α = противолежащий катет / гипотенуза (определение корректно для 0° < α < 90°).

2. Через единичную окружность: sin x — это y-координата точки на окружности x² + y² = 1, соответствующей углу x в радианах.

3. Через дифференциальное уравнение: sin x — одно из решений уравнения y″ + y = 0 с начальными условиями y(0) = 0, y′(0) = 1.

4. Через степенной ряд: sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + … (сходится для всех действительных x).

5. Через экспоненту Эйлера: sin x = (e^{ix} − e^{−ix}) / (2i).

🔢 Таблица значений для распространённых углов

🧮 Основные свойства и тождества

• Периодичность: sin(x + 2π) = sin x. Нули при x = nπ, максимум 1 при x = π/2 + 2πk, минимум −1 при x = 3π/2 + 2πk.

• Нечётность: sin(−x) = −sin x. Отсюда симметрия графика относительно начала координат.

• Диапазон: −1 ≤ sin x ≤ 1. Монотонность на интервалах [−π/2, π/2] и [π/2, 3π/2] с чередованием.

• Связь с косинусом: sin²x + cos²x = 1; sin(π − x) = sin x; sin(π + x) = −sin x; sin(π/2 − x) = cos x.

• Формулы сложения: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b; удвоенный угол: sin 2x = 2 sin x cos x.

• Произведение в сумму: sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]/2; sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]/2.

• Производная и интеграл: (sin x)′ = cos x; ∫sin x dx = −cos x + C.

• Обратная функция: arcsin y определена для y ∈ [−1, 1], значение в главной ветви — в [−π/2, π/2].

📈 График и геометрическая интерпретация

График y = sin x — непрерывная волнообразная кривая с периодом 2π, амплитудой 1 и средней линией y = 0. На единичной окружности синус соответствует вертикальной координате точки, а направление обхода круга против часовой стрелки соответствует возрастанию аргумента x в радианах.

Знак функции определяется четвертью: в I и II четвертях sin x ≥ 0, в III и IV — sin x ≤ 0. Сдвиг по фазе: y = A sin(ωx + φ) + D изменяет амплитуду (A), период (2π/ω), фазу (φ) и вертикальное смещение (D).

🧩 Численные представления и вычисление

Для вычислений применяют полиномиальные аппроксимации и алгоритм CORDIC; в аналитике удобен степенной ряд Маклорена. На практике аргумент сначала редуцируют по модулю 2π, после чего вычисляют sin на малом интервале с контролем погрешности. На отрезке [−π/2, π/2] функция строго монотонна, что удобно для инверсии при arcsin.

🌊 Моделирование и уравнения

Синус описывает решения линейного гармонического осциллятора: y″ + ω² y = 0 имеет решения вида y = A sin(ωt + φ). В электродинамике и акустике синусоидальные функции задают монохроматические волны; суперпозиция синусов разных частот лежит в основе преобразования Фурье.

🔧 Применения

• Геометрия и навигация: закон синусов в треугольнике; вычисление высот, азимутов и расстояний на сфере.

• Сигналы и связь: моделирование гармонических колебаний, амплитудная/частотная модуляция, спектральный анализ.

• Инженерия и робототехника: планирование траекторий, фильтрация, управление колебательными системами.

🧠 Полезные мнемоники и советы

Для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° удобно помнить «корневой ряд»: sin x = √n/2 при n = 0, 1, 2, 3, 4 (в указанном порядке). Знак определяется четвертью, а точные значения во II–IV четвертях выводятся через формулы приведения: sin(π − α) = sin α, sin(π + α) = −sin α, sin(2π − α) = −sin α.