Периметр — суммарная длина границы плоской фигуры; это сумма длин всех её сторон, а для криволинейных границ — длина соответствующей линии (например, окружности).
Этимология и смысл 📏
Термин происходит от греческого perímetros — «измеряю вокруг». В геометрии периметр описывает, сколько длины требуется, чтобы «обойти» фигуру по её внешней границе. Для многоугольников это сумма длин рёбер, для криволинейных контуров — длина кривой. В формулах обычно используют обозначение P для периметра; для окружности также применяют L — длина окружности.
Периметр — линейная характеристика: он зависит от масштабирования один-к-одному и не связан напрямую с площадью, хотя между ними есть известные связи (например, изопериметрическое свойство окружности).
Единицы измерения и запись ➗
Периметр измеряется в линейных единицах (мм, см, м, км); это отличает его от площади, выражаемой в квадратных единицах (см², м²). При вычислениях важно приводить все стороны к одной системе единиц, чтобы избежать арифметических ошибок. В учебных задачах периметр обозначают P, стороны — латинскими буквами a, b, c, радиус — r, диаметр — d, количество сторон правильного многоугольника — n.
Формулы для распространённых фигур 📐
| Фигура 🔶 | Обозначения ✍️ | Формула периметра | Пример вычисления |
|---|---|---|---|
| Квадрат 🟩 | сторона a | P = 4a | a = 5 см → P = 20 см |
| Прямоугольник ▭ | стороны a, b | P = 2(a + b) | a = 3 м, b = 2 м → P = 10 м |
| Параллелограмм ⬛ | стороны a, b | P = 2(a + b) | a = 4 см, b = 6 см → P = 20 см |
| Треугольник 🔺 (произвольный) | стороны a, b, c | P = a + b + c | a = 3, b = 4, c = 5 см → P = 12 см |
| Равнобедренный треугольник 🔺 | основание a, боковые c | P = a + 2c | a = 6, c = 5 см → P = 16 см |
| Равносторонний треугольник 🔺 | сторона a | P = 3a | a = 7 см → P = 21 см |
| Трапеция ⏢ | основания a, b; боковые c, d | P = a + b + c + d | a = 10, b = 6, c = 4, d = 4 см → P = 24 см |
| Окружность 🔵 | радиус r, диаметр d = 2r | P = 2πr = πd | r = 10 см → P ≈ 62,83 см |
| Правильный n-угольник ⬣ | сторона a, число сторон n | P = n·a | n = 8, a = 2 см → P = 16 см |
| Многоугольник по координатам | вершины (xi, yi) | P = Σ √[(xi+1−xi)² + (yi+1−yi)²] + замыкающее ребро | подставить координаты, просуммировать все отрезки |
Свойства и отличия от площади 🧭
- Периметр — не площадь: одинаковый периметр не гарантирует одинаковую площадь (и наоборот).
- Масштабирование: при увеличении всех размеров в k раз периметр умножается на k, а площадь — на k².
- Жёсткие движения (поворот, перенос, симметрия) не меняют периметр.
- Объединение фигур: общий внутренний участок границы не входит в периметр объединения; учитывается только внешняя замкнутая линия.
- Изопериметрическое свойство: среди всех плоских фигур с заданным периметром наибольшую площадь имеет круг.
- Для ломаных и кривых периметр соответствует длине линии, измеряемой как предел суммы отрезков приближающих секущих.
Алгоритм вычисления для ломаных и многоугольников ✏️
- Соберите данные: длины всех сторон или координаты вершин в порядке обхода.
- Приведите единицы измерения к единому формату (например, всё в сантиметрах).
- Если заданы координаты, для каждого ребра вычислите длину: √[(x2−x1)2 + (y2−y1)2]. Не забудьте замкнуть контур (последняя вершина соединяется с первой).
- Сложите длины всех рёбер/дуг. Для окружности используйте 2πr или πd; для дуги — длину по центральному углу.
- Проверьте разумность результата: периметр должен быть больше любой отдельной стороны и положительным.
Типичные ошибки и проверка результата ✅
- Смешение единиц (см и м в одной сумме) — всегда приводите к единому масштабу.
- Подмена периметра площадью: в ответах по периметру не может быть см², только см, м и т. п.
- Забытая сторона или незамкнутый контур — пересчитайте количество рёбер и соответствующих слагаемых.
- Для окружности подстановка диаметра вместо радиуса (и наоборот): P = 2πr = πd, внимательно к символам.
- Ошибки округления: храните промежуточные вычисления с достаточной точностью, округляйте в конце.
Практическое использование 📏🔧
Периметр применяют при разметке и сметах: длина забора вокруг участка, окантовка материалов, бордюрная лента вдоль дорожки, рамки и плинтусы, периметральная прокладка кабеля, длина порожка дверного проёма. В инженерной графике периметр замкнутого профиля определяет заготовку для гибки и резки, а в информатике — показатель «длины границы» в анализе изображений и распознавании объектов.
В стереометрии термин используют для плоских сечений и оснований (периметр основания призмы, периметр сечения), отличая его от суммарной длины рёбер пространственных тел.
