Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки фигуры или структуры, чаще всего кривой (окружности, эллипса, произвольной кривой), а также термин для обозначения аналогичных «прямых связей» в разных дисциплинах: в аэродинамике (базовая линия профиля), в биологии (ноточордa у хордовых и сухожилия клапанов сердца), в теории графов (ребро, «перерезающее» цикл), в геодезии и астрономии (отрезок, соединяющий точки на дуге или диске). Во всех случаях хорда — это кратчайшая прямая связь между двумя заданными точками внутри или на границе рассматриваемого объекта.
Ключевые интерпретации термина «хорда»
| Сфера 🧭 | Определение | Основные параметры | Пример/заметки |
|---|---|---|---|
| Планиметрия 📐 | Отрезок, соединяющий две точки окружности/эллипса/кривой | Длина хорды, центральный угол, стрела (сагитта), расстояние до центра | Диаметр — частный случай хорды максимальной длины (всe диаметры — хорды, но не все хорды — диаметры) |
| Дифф. геометрия 🧮 | Отрезок между двумя точками гладкой кривой как линейная аппроксимация дуги | Длина дуги, кривизна, ошибка аппроксимации | Используется при численном интегрировании и сплайновой аппроксимации |
| Аэродинамика ✈️ | Хордовая линия профиля крыла: прямая между передней и задней кромками | Длина хорды, средняя аэродинамическая хорда (САХ), удлинение | САХ определяет характерные размеры и центровку самолёта и критична для расчётов устойчивости |
| Биология 🧬 | Нотохорда — продольный упругий тяж у зародышей хордовых | Положение вдоль оси тела, стадия развития, замещение позвоночником | Опора тела на ранних стадиях; у человека заменяется позвоночником |
| Анатомия сердца ❤️ | Хорды сухожильные — нити, соединяющие створки клапанов с папиллярными мышцами | Натяжение, целостность, функциональная длина | Разрыв хорд ведёт к острой регургитации митрального клапана |
| Теория графов 🧠 | Ребро, соединяющее две не соседние вершины цикла (создаёт «перерез») | Хордальность, минимальные сепараторы, совершенные элиминации | Графы с хордой у каждого цикла ≥ 4 — хордальные; важны в ИИ и БД |
| Геодезия и астрономия 🛰️ | Прямая между точками дуги на сфере/орбите/диске тела | Сагитта, дуговая длина, радиус кривизны | По хордам звёздных покрытия строят контур астероида |
| Градостроительство 🚗 | «Хордовая» магистраль — прямая связь между радиальными трассами | Протяжённость, пропускная способность, развязки | Северо-Восточная хорда в Москве разгружает центр и ТТК |
Геометрические свойства и интуиция
Для окружности радиуса R длина хорды c зависит от центрального угла θ, под которым видна хорда из центра: c = 2R·sin(θ/2). Если известна стрела (сагитта) s — расстояние от середины хорды до дуги, то c = 2·√(2Rs − s²). При известном расстоянии d от центра до хорды: c = 2·√(R² − d²). Эти соотношения применяются для построений без измерения дуг.
В эллипсе хорда, проходящая через центр, называется диаметром; длины хорд зависят от направления относительно главных осей. В произвольных кривых хорда служит линейным приближением дуги: чем меньше длина дуги между опорными точками и чем больше гладкость, тем точнее аппроксимация.
Вычислительные формулы и приёмы 📐
- Окружность: c = 2R·sin(θ/2); при θ в радианах малая хорда аппроксимируется c ≈ R·θ (погрешность порядка θ³).
- Через сагитту: c = 2·√(2Rs − s²); обратная формула для R: R = (c²/8s) + (s/2).
- Через расстояние до центра: c = 2·√(R² − d²); удобно при перпендикулярных построениях.
- Эллипс (полуоси a, b): длина хорды, параллельной оси x и на высоте y, равна 2a·√(1 − y²/b²).
- Численная геометрия: сегментация кривой равными хордами для упрощения рендеринга и расчёта длины дуги.
Аэродинамическая хорда ✈️
Хордовая линия профиля крыла — базовая геометрическая ось профиля между передней и задней кромками. Её длина называется длиной хорды c, а характерный интегральный размер крыла — средней аэродинамической хордой (САХ). САХ используется для нормирования коэффициентов подъёмной силы и момента, расчёта центровки и критериев устойчивости. Правильный выбор точки приложения аэродинамических сил относительно САХ критичен для безопасности.
Для трапециевидного крыла САХ вычисляется по аналитической формуле через корневую и концевую хорды и сужение; для сложных планформ — численно по распределению площади.
Биологические смыслы 🧬
Нотохорда — первичная осевая опора у хордовых, обеспечивающая жёсткость и направление развития нервной трубки и сомитов. У млекопитающих замещается телами позвонков, сохраняясь фрагментарно в межпозвонковых дисках (ядро пульпозум на ранних стадиях). В кардиологии «хорды» — сухожильные нити клапанов, предотвращающие выворачивание створок в предсердие; их укорочение или разрыв — частая причина митральной недостаточности.
Хорды в дискретной математике и на сфере
В теории графов хорда цикла — ребро, соединяющее несоседние вершины этого цикла. Графы, где каждый цикл длиной ≥ 4 имеет хорду, называются хордальными; они допускают совершенную элиминацию вершин и эффективно разлагаются на клики (применение: факторные графы, байесовские сети, планирование запросов в СУБД).
В геодезии используют хорды для связи между точками дуги большого круга: полезно при проектировании тоннелей, мостов и при оценке сагитты пролёта. В астрономии во время покрытия звезды астероидом измеренные «хорды» по времени затмения с разных пунктов позволяют восстановить форму и размер астероида.
Типичные применения и задачи
- Построение многоугольников по заданным хордам (геодезия, механика).
- Определение радиуса кривизны по измеренной хорде и сагитте (контроль рельсов, линз, куполов).
- Расчёт САХ и центровки летательного аппарата, оценка устойчивости.
- Диагностика клапанной регургитации по длине и натяжению сердечных хорд (эхокардиография).
- Распознавание хордальных графов и разложение на клики (алгоритмы разрежённой линейной алгебры).
- Проектирование «хордовых» магистралей, разгружающих радиально-кольцевые схемы городов.
Историко-терминологические заметки 🕰️
- Слово «хорда» восходит к греч. chorda — «струна»; в античной тригонометрии таблицы хорд предшествовали синусам.
- В музыке русское «аккорд» не связано с геометрической «хордой», хотя оба термина имеют общий греческий корень.
- В инженерной литературе по аэродинамике допустимы варианты: «хордовая линия», «длина хорды», «средняя аэродинамическая хорда».
