Дисперсия — это мера рассеяния значений относительно среднего: в статистике она характеризует разброс случайной величины 📊, а в физике — зависимость скоростей распространения волн от частоты или длины волны (оптическая и волновая дисперсия) 🌈🌊. Термин также применяется в финансах, геостатистике и телекоммуникациях для оценки изменчивости и искажений сигналов.
Статистическая дисперсия (вероятностный смысл)
Var(X) = E[(X - μ)^2] = E[X^2] - μ^2, где μ — математическое ожидание. Для выборки из n наблюдений дисперсия оценивается как s^2 = (1/(n-1)) Σ (x_i − x̄)^2 — несмещённая оценка дисперсии использует деление на (n−1).
Интерпретация: чем больше дисперсия, тем сильнее значения отклоняются от среднего; корень из дисперсии — стандартное отклонение — выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.
- Дисперсия всегда неотрицательна; равна нулю только при отсутствии разброса.
- Линейность по масштабу:
Var(aX + b) = a^2 Var(X). - Для суммы:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y); при независимости — сумма дисперсий. - Чувствительность к выбросам: квадратичное взвешивание усиливает влияние экстремальных наблюдений.
- Нормализация: коэффициент вариации
CV = σ/|μ|позволяет сравнивать разброс для разных масштабов.
- Соберите данные и вычислите среднее
x̄. - Найдите отклонения
(x_i − x̄)и их квадраты. - Просуммируйте квадраты и разделите на
(n−1)для оценки генеральной дисперсии. - Возьмите квадратный корень для получения стандартного отклонения
s, если нужна интерпретация в исходных единицах.
Дисперсия волн и света (физический смысл)
В волновых средах дисперсия — зависимость фазовой и/или групповой скорости от частоты. В оптике это проявляется как спектральное разложение белого света на цвета в призме: показатель преломления среды меняется с длиной волны n = n(λ), из-за чего разные компоненты проходят по-разному.
Ключевые варианты:
- Материальная (обычная) оптическая дисперсия: связана с частотной зависимостью поляризуемости среды; описывается моделями типа Лоренца–Друде.
- Геометрическая/волноводная дисперсия: вызвана структурой направляющих (волоконная связь), влияет на расходимость импульсов и межсимвольную интерференцию.
- Хроматическая дисперсия: суммарный эффект в оптоволокне, складывающийся из материальной и волноводной составляющих; измеряется в пс/(нм·км).
Таблица областей применения и смыслов термина
| Область | Смысл | Единицы | Ключевая формула/закон | Пример/эффект | Практическая задача |
|---|---|---|---|---|---|
| Статистика/Теория вероятностей 📊 | Разброс относительно среднего | Квадрат исходных единиц | Var(X)=E[(X−μ)^2] | Оценка стабильности процесса | Контроль качества, A/B-тесты |
| Финансы 💹 | Волатильность доходностей | %^2 или (денежн. ед.)^2 | Var(r)=E[r^2]−(E[r])^2 | Риск портфеля | Оптимизация портфеля (Марковиц) |
| Оптика 🌈 | Зависимость n от λ | Безразмерно (n), D: пс/(нм·км) | Закон Снеллиуса, n(λ) | Призма, радужные окраски | Компенсация хроматической дисперсии |
| Телекоммуникации/Волокно 🧬 | Растяжение импульса | пс/(нм·км) | Δτ = D·L·Δλ | Межсимвольная интерференция | Дисперсионные компенсаторы, DCM |
| Акустика/Сейсмика 🔊 | Скорость звука зависит от f | м/с, с/м | v_p(f), v_g(f) | Искажение форма импульса | Фильтрация и инверсия сигнала |
| Геостатистика 🌍 | Пространственный разброс | Квадрат единиц поля | Вариограмма γ(h) | Анизотропия залежей | Кригинговая интерполяция |
| Машинное обучение 🤖 | Компонент ошибки (bias–variance) | Зависит от метрики | Err = Bias^2 + Var + noise | Переобучение/недообучение | Регуляризация, бэггинг |
Связанные величины и практические замечания
Ковариация и корреляция измеряют совместные изменения случайных величин; ковариационная матрица обобщает дисперсию на многомерный случай. В спектральном анализе дисперсия в физическом смысле описывается через дисперсионное соотношение ω(k), связывающее частоту и волновое число; выпуклость/вогнутость ω(k) определяет соотношение фазовой и групповой скоростей.
В инженерной практике для оптоволокна важно учитывать окно минимальной дисперсии, нелинейные эффекты (самофазовая модуляция) и использовать Брэгговские решётки или цифровую компенсацию для восстановления импульса. В статистике корректная оценка дисперсии критична для доверительных интервалов, t-тестов и регрессии; при наличии выбросов применяют робастные альтернативы (MAD, Huber).
Оптическая дисперсия приводит к зависимости показателя преломления от длины волны n(λ), что одновременно позволяет создавать спектральные приборы и требует компенсации в системах связи высокой скорости.