Десятичная дробь — это запись числа в позиционной десятичной системе с десятичной запятой, указывающая доли единицы: десятые, сотые, тысячные и т. д. Различают конечные десятичные дроби (имеют конечное число знаков после запятой) и бесконечные десятичные дроби (периодические и непериодические); в учебной практике под «десятичной дробью» чаще понимают конечную запись.
В русской нотации используется десятичная запятая (например, 3,14), в англоязычной — десятичная точка (3.14). Разряды после запятой соответствуют степеням 1/10, 1/100, 1/1000 и т. д.: первая цифра — «десятые», вторая — «сотые», третья — «тысячные» и т. п. 🧮
Примеры и типы десятичных дробей 🔢
| Обыкновенная дробь / число | Десятичная запись | Тип | Пояснение | Эмодзи |
|---|---|---|---|---|
| 1/10 | 0,1 | конечная | Одна десятая — одна цифра после запятой | ✅ |
| 3/5 | 0,6 | конечная | Знаменатель 5 = 5¹ — степень 5 | ✅ |
| 1/4 | 0,25 | конечная | 4 = 2² — степень 2 | ✅ |
| 7/8 | 0,875 | конечная | 8 = 2³ — степень 2 | ✅ |
| 1/40 | 0,025 | конечная | 40 = 2³·5 — только 2 и 5 | ✅ |
| 2/3 | 0,(6) | бесконечная периодическая | Период «6» повторяется бесконечно | ♾️ |
| 1/11 | 0,(09) | бесконечная периодическая | Период «09» | ♾️ |
| 1 | 0,(9) | бесконечная периодическая | Равна 1; запись с «бесконечными девятками» | ➗ |
Связь с обыкновенными дробями ✍️
Обыкновенная дробь a/b имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда в разложении b нет простых множителей, кроме 2 и 5. В этом случае число знаков после запятой равно максимальной степени 2 или 5 в знаменателе (после сокращения дроби).
Если в знаменателе присутствуют другие простые множители (например, 3 или 7), десятичная запись — бесконечная периодическая. Для перевода периодической дроби в обыкновенную используют алгебраический прием: пусть x = 0,(abc), тогда 1000x − x = abc, откуда x = abc/999 (для периода из трех цифр).
Нотация и равенства
Период обозначают скобками: 0,(3) = 0,333…, 1,2(34) = 1,2343434… Нули в конце конечной десятичной дроби не меняют число: 2,50 = 2,5. Запись 0,(9) равна 1, а любая конечная дробь имеет «двойную» запись: например, 1,250 = 1,2499(9).
Свойства и операции с десятичными дробями 🧰
- Умножение (деление) на 10ⁿ переносит запятую вправо (влево) на n позиций: 3,47 × 10² = 347; 58,1 ÷ 10³ = 0,0581.
- Сложение и вычитание выполняют с выравниванием запятой; при необходимости дописывают нули: 2,5 + 0,75 = 3,25; 5,03 − 1,2 = 3,83.
- При умножении конечных дробей число знаков после запятой в результате — сумма знаков множителей: 1,2 × 0,03 = 0,036.
- Деление переводят в целое деление с сдвигом запятой в делимом и/или делителе: 3,69 ÷ 0,3 = 36,9 ÷ 3 = 12,3.
- Перевод в обыкновенную дробь: 0,125 = 125/1000 = 1/8; 0,(7) = 7/9; 1,2(3) = 1 + 23/90 = 113/90.
Сравнение десятичных дробей 📏
- Сравнить целые части: большее целое — большее число.
- Если целые части равны, выровнять число знаков после запятой (дополнить нулями справа).
- Сравнить разряды слева направо до первого различия: 3,1400 < 3,1415.
Округление и точность 🎯
- Округление до k знаков после запятой: если следующая цифра меньше 5 — отбрасываем, если 5 и больше — увеличиваем последнюю оставленную цифру: 2,374 ≈ 2,37; 2,375 ≈ 2,38.
- Округление до разряда: 158,2 ≈ 200 (до сотен); 3,14159 ≈ 3,142 (до тысячных).
- Значащие цифры: 0,004560 имеет четыре значащие цифры (4, 5, 6, 0); ведущие нули не считаются.
Разрядность, перенос и запись единиц 📐
Каждая позиция после запятой означает уменьшение разряда в 10 раз: десятые (0,1), сотые (0,01), тысячные (0,001). Для удобства вычислений дроби часто приводят к одинаковой разрядности: 0,6 = 0,60, 0,125 = 0,1250. Это не меняет значение, но упрощает вычитание и сравнение.
Числовые ловушки и частые ошибки ⚠️
- Игнорирование выравнивания запятой при сложении/вычитании приводит к неверным результатам.
- Неправильная интерпретация периодов: 0,(12) — это 0,121212…, а не 0,1122…
- Смешение записей с точкой и запятой в одном выражении нежелательно; следует придерживаться единой локали.
- Путаница между количеством знаков после запятой и точностью измерения: 2,500 может означать намеренно заданную точность до тысячных.
