Число b является делителем числа a, если a делится на b без остатка (запись: b | a). В записи деления a : b — b называется делителем, a — делимым, результат — частное.
Термин «делитель» встречается в двух близких смыслах: как число, на которое делят в арифметическом действии a : b, и как целое число, которое «входит» в другое целое без остатка. Чаще всего под делителем имеют в виду второй смысл — делитель целого числа. Ниже — ключевые факты, примеры и практические приёмы 🧮.
| a | Разложение на простые множители | Все положительные делители | Собственные делители | Количество делителей τ(a) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | — | 1 | — | 1 |
| 6 | 2 · 3 | 1, 2, 3, 6 | 1, 2, 3 | 4 |
| 12 | 2² · 3 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 1, 2, 3, 4, 6 | 6 |
| 13 | 13 (простое) | 1, 13 | 1 | 2 |
| 28 | 2² · 7 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | 1, 2, 4, 7, 14 | 6 |
| 36 | 2² · 3² | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 | 9 |
Ключевые факты и обозначения ➗
- b | a означает, что a = b · k для некоторого целого k. Это определяет отношение «делимости».
- Если b | a, то b называют делителем (фактором) числа a, а a — кратным числа b.
- 1 — делитель любого целого числа; само число a тоже его делитель.
- У простого числа p ровно два положительных делителя: 1 и p.
- Делить на ноль нельзя: 0 не может быть делителем никакого числа. Зато 0 делится на любое ненулевое число: для любого b ≠ 0 верно b | 0.
- Обычно рассматривают именно положительные делители; отрицательные тоже возможны (если b | a, то и −b | a).
Как находить все делители числа
- Разложите число на простые множители (например, 36 = 2² · 3²) 🧩.
- Переберите все комбинации степеней простых множителей: 2^i · 3^j, где 0 ≤ i ≤ 2, 0 ≤ j ≤ 2 — получите все делители.
- Число делителей быстро считается по формуле: если a = p₁^α₁ · p₂^α₂ · … · pₙ^αₙ, то τ(a) = (α₁+1)(α₂+1)…(αₙ+1).
- Экономия при переборе без разложения: пробуйте делители только до ⌊√a⌋; пары находятся симметрично (если d | a, то a/d — тоже делитель) ⚡.
Полезные признаки делимости (быстрые проверки) ✅
- На 2 — последняя цифра чётная.
- На 3 — сумма цифр кратна 3.
- На 4 — последние две цифры образуют число, кратное 4.
- На 5 — последняя цифра 0 или 5.
- На 9 — сумма цифр кратна 9.
- На 11 — разность суммы цифр на нечётных и чётных позициях кратна 11.
Собственные делители и особые числа
Собственные делители числа a — это все его положительные делители, кроме самого a. Если сумма собственных делителей равна самому числу, число называется совершенным (например, 28: 1+2+4+7+14=28) ✨. Если сумма меньше — число недостаточное, больше — избыточное.
Типичные ошибки и тонкости
- Путаница «делитель» vs «знаменатель»: в дроби m/n число n — знаменатель; в действии деления a : b — b делитель. В теории чисел делитель — тот, кто «входит» без остатка.
- Забывают про делитель 1 и само число a, из‑за чего неполный список делителей.
- Игнорирование отрицательных делителей: они существуют, но по умолчанию считают только положительные.
- Число 0: у него бесконечно много делителей? Нет. Делителями 0 являются все ненулевые целые; но 0 не делит ничего.
Связанные понятия
Общий делитель нескольких чисел — число, которое делит каждое из них; наибольший общий делитель (НОД) можно находить алгоритмом Евклида. Общий кратный — число, кратное каждому из заданных; наименьшее общее кратное (НОК) связано с НОД формулой: NOK(a, b) · НОД(a, b) = |a · b|, если a и b не равны нулю.
Мини‑практикум 🛠️
- Найдите все делители 84. Подсказка: 84 = 2² · 3 · 7 ⇒ τ(84) = (2+1)(1+1)(1+1) = 12 делителей.
- Сколько делителей у 900? 900 = 2² · 3² · 5² ⇒ τ(900) = 3 · 3 · 3 = 27.
FAQ по смежным темам
В: Чем делитель отличается от кратного?
О: b — делитель числа a, если b | a. В этом случае a называется кратным b. Например, 4 — делитель 20, а 20 — кратное 4.
В: Что такое «собственные делители» и зачем они нужны?
О: Это все положительные делители числа, кроме самого числа. Они используются при классификации совершенных, недостаточных и избыточных чисел и в задачах о сумме делителей.
В: Могут ли делители быть отрицательными?
О: Да. Если d делит a, то и −d делит a. Часто по умолчанию рассматривают только положительные делители, чтобы избежать дублирования.
В: Как быстро узнать количество делителей без полного перебора?
О: Разложите число на простые множители a = p₁^α₁ · … · pₙ^αₙ и примените формулу τ(a) = (α₁+1)…(αₙ+1). Например, для 360 = 2³ · 3² · 5 τ(360) = 4 · 3 · 2 = 24.
В: Как связаны делители с НОД?
О: НОД(a, b) — это наибольшее число, которое является общим делителем a и b. Он выражает «общую часть» их делителей; используется для сокращения дробей и решения диофантовых уравнений.
В: Что значит «делитель многочлена»?
О: В алгебре g(x) — делитель f(x), если существует h(x) такой, что f(x) = g(x) · h(x). Идея аналогична целым числам, но работает с многочленами; для проверки делимости применяют алгоритм деления столбиком и теорему Безу.