Апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на одну из его сторон, или же расстояние от центра многоугольника (или окружности) до его стороны.
Антонимы: нет устоявшихся прямых антонимов
Синонимы: радиус вписанной окружности, inradius, apothem (англ.)
Как пишется: апофе́ма (ударение на «е́»)
| № | Фигура | Число сторон (n) | Формула апофемы | Emoji |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Треугольник | 3 | a = s / (2·tan(π/3)) = s·√3/6 | 🔺 |
| 2 | Квадрат | 4 | a = s/2 | ⬛ |
| 3 | Правильный пятиугольник | 5 | a = s / (2·tan(π/5)) | ⭐ |
| 4 | Правильный шестиугольник | 6 | a = s·√3/2 | ⛅ |
| 5 | Правильный восьмиугольник | 8 | a = s / (2·tan(π/8)) | 🏰 |
| 6 | Правильный десятиугольник | 10 | a = s / (2·tan(π/10)) | 🎯 |
- Формула площади правильного n-угольника через апофему:
S = (P × a) / 2, где P — периметр, a — апофема. - Связь с радиусом описанной окружности R:
a = R·cos(π/n), R = a / cos(π/n). - Выражение через длину стороны s:
a = s / (2·tan(π/n)).
- Использование в инженерной графике и архитектуре для построения равномерных форм.
- Применение в компьютерной графике и моделировании для расчёта освещённости граней.
- В задачах оптимизации площади и минимизации материала.
Исторически понятие апофемы восходит к древнегреческой геометрии. В «Началах» Евклида впервые формализовано свойство вписанной окружности. Средневековые математики через апофему уточняли построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки, а в эпоху Возрождения это понятие стало ключевым при создании перспективных чертежей и архитектурных проектов.
Персоны:
Евклид — ввёл в систематику геометрии понятие вписанной окружности и апофемы (III век до н. э.).
Иоганн Кеплер — в книге «Гармония мира» исследовал закономерности правильных многоугольников и их апофем для астрономических моделей (1619 г.).
FAQ по смежным темам
- Что такое описанный и вписанный радиусы?
- Описанный радиус (R) — расстояние от центра до вершины правильного многоугольника; вписанный радиус (a) — то же, что апофема, расстояние до стороны.
- Как найти апофему неправильного многоугольника?
- В общем случае апофему нельзя определить однозначно без дополнительной информации о симметрии или окружности, в которую он вписан.
- Можно ли использовать апофему для круга?
- Для круга апофема совпадает с радиусом, так как все стороны имеют бесконечную длину и касаются центра одинаково.
- Как апофема помогает в расчёте объёма правильной призмы?
- Площадь основания через апофему S=(P·a)/2, умножив на высоту призмы, получаем объём V=S·h.
Апофема играет ключевую роль при вычислении площади правильных многоугольников и при построении равномерных геометрических форм, особенно в архитектуре и инженерии, а также позволяет оптимизировать расход материалов.